Qué es el teorema de Bayes, el potente método para generar conocimiento que nació cuando trataban de demostrar un milagro.

De acuerdo, no es la manera más común ni, por supuesto, la más clara de empezar un artículo pero resulta que es de eso que vamos a hablar, algo que, como dice el título, tiene que ver con conocimiento y con milagros.

Se trata del teorema de Bayes y, aunque muchos de nosotros no hemos oído hablar de él, las estadísticas bayesianas han permeado todo, desde la física -con interpretaciones bayesianas de la mecánica cuántica y defensas bayesianas de las teorías de cuerdas y multiverso- hasta la investigación del cáncer y el covid, pasando por la ecología, la filosofía, la neurología, la psicología, además de la informática.

Hay hasta científicos cognitivos que han conjeturado que nuestros cerebros incorporan algoritmos bayesianos al percibir, deliberar y decidir, y fanáticos del teorema que señalan que si adoptáramos el razonamiento bayesiano consciente (más allá del procesamiento bayesiano inconsciente que supuestamente emplea nuestro cerebro), el mundo sería mejor.

Ante todo eso, vale la pena saber un poco sobre esa fórmula con la que empezamos y su autor.

Él

«Thomas Bayes fue un ministro presbiteriano en el siglo XVIII», empezó contándole a la BBC Sharon Bertsch McGrayne, autora del libro «La teoría que nunca murió».

Firma de Bayes

De Bayes no hay retratos, pero tenemos su firma.

«Fue parte de una generación que no pudo asistir a la universidad en Oxford o Cambridge, las principales universidades inglesas en ese momento, porque no era la Iglesia de Inglaterra.

«Esto fue una suerte para Bayes porque se fue al norte a Escocia, que era presbiteriana y tenía una universidad mucho mejor en Edimburgo en ese momento, y allí estudió teología, como su padre, y matemáticas, que era su verdadero interés, y se convirtió en un matemático aficionado».

Bayes logró mezclar sus dos intereses, escribió al menos un libro sobre matemáticas y pasó gran parte de su tiempo estudiando las obras de otros matemáticos y teólogos.

Así, comenzó a desarrollar una idea.

La idea

«Fue durante una gran controversia religiosa de si se podía usar la evidencia del mundo natural para demostrar que Dios existe».

Uno de los que participó en el debate fue el filósofo David Hume quien publicó, en 1748, el hasta hoy influyente libro «Investigación sobre el entendimiento humano», cuestionando, entre otras cosas, la existencia de milagros.

David Hume, 1711-1776. Historidor y filósofo, pintado por Allan Ramsay en 1754.

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David Hume, 1711-1776. Historiador y filósofo, pintado por Allan Ramsay en 1754.

Según Hume, la probabilidad de que las personas afirmaran incorrectamente que habían visto la resurrección de Jesús superaba con creces la probabilidad de que el evento hubiera ocurrido en primer lugar.

«Un milagro es una violación de las leyes de la naturaleza; y como una experiencia firme e inalterable ha establecido estas leyes, la prueba contra un milagro, por la naturaleza misma del hecho, es tan completa como se pueda imaginar que cualquier argumento basado en la experiencia lo sea», escribió el filósofo.

Esto no le cayó bien al reverendo y, queriendo demostrar que Hume estaba equivocado, empezó a tratar de cuantificar la probabilidad de un evento imaginándose situaciones como la siguiente:

Imagínate que estás en una habitación y a tus espaldas está una mesa.

Alguien lanza una pelota que aterriza en esa mesa pero, sin mirar, no tienes forma de saber dónde.

Entonces, le pides a esa persona que lance otra pelota y te diga si cayó a la derecha o a la izquierda de la primera. Si aterrizó hacia la derecha es más probable que la primera esté en el lado izquierdo de la mesa, pues supones que hay más espacio a ese lado para que caiga la segunda bola.

Con cada nueva pelota que se lance, puedes actualizar tu conjetura e ir precisando la ubicación de la original.

De manera similar, pensó Bayes, los diversos testimonios de la resurrección de Cristo indicaban que el evento no podía descartarse de la forma en que Hume afirmó.

"La resurrección", pintada circa 1475, por el artista español Bartolomé Bermejo (ca 1440-ca 1498).

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«La resurrección», pintada circa 1475, por el artista español Bartolomé Bermejo (ca 1440-ca 1498).

«Se le ocurrió un teorema de una línea realmente simple que sirve para trabajar con datos incompletos y dijo que está bien comenzar con una idea a medias sobre una situación, siempre y cuando modifiques implacablemente tus ideas iniciales cada vez que aparezca nueva información», señaló McGrayne.

«Nos dio un razonamiento matemático para situaciones altamente inciertas».

El rechazo

Bayes no publicó su teorema pero un amigo suyo, Richard Price, un matemático aficionado, lo desarrolló y, en 1767, publicó «Sobre la importancia del cristianismo, sus evidencias y las objeciones que se le han hecho», en el que usó las ideas de Bayes para desafiar el argumento de Hume.

«El punto probabilístico básico» de Price, dice el historiador y estadístico Stephen Stigler en su artículo «El verdadero título del ensayo de Bayer», «fue que Hume subestimó el impacto de que hubiera varios testigos independientes de un milagro, y que los resultados de Bayes mostraron cómo la multiplicación de incluso evidencia falible podría abrumar la gran improbabilidad de un evento y establecerlo como un hecho».

Quizás ni siquiera así Price logró probar la existencia de los milagros, pero sí sacó a la luz pública algo que de otra forma se habría quedado oculto entre los papeles del para entonces ya difunto Bayes.

No obstante, el teorema cayó en la oscuridad hasta que el ilustre matemático francés Pierre Simon Laplace formalizó la visión de Bayes y mostró claramente cómo se podía aplicar a principios del siglo XIX.

Retrato de Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749-París, 1827), marqués de Laplace, matemático y astrónomo francés.

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Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749-París, 1827), marqués de Laplace, matemático y astrónomo francés, fue quien le dio prominencia al trabajo de Bayes.

A partir de entonces, entró y pasó de moda, se aplicó en una ciencia tras otra sólo para luego ser condenado por ser vago, subjetivo o poco científico, y se convirtió en la manzana de la discordia entre campos rivales de matemáticos antes de disfrutar de un renacimiento en los últimos años.

¿Por qué?

Recuerda que el enfoque bayesiano dice que puedes comenzar con una estimación subjetiva de una probabilidad, cualquier probabilidad, independientemente de si hay algún dato.

¿Cuán probable es que Dios exista? ¿Mutará el nuevo coronavirus para inutilizar las vacunas? ¿Cuál es la posibilidad de una guerra nuclear antes del 1 de enero de 2030?

Habiendo comenzado con lo que es poco más que una suposición, usamos la regla de Bayes para revisar nuestra opinión a medida que llegan nuevos datos.

John Stuart Mill, el filósofo y economista político británico del siglo XIX, lo llamó «la ignorancia acuñada en la ciencia».

Durante mucho tiempo, el enfoque bayesiano fue tabú en las estadísticas convencionales, pero no murió, y a lo largo de las décadas personas inteligentes encontraron formas inteligentes de aplicarlo.

Enigma

Un caso sorprendente es que el teorema de Bayes fue utilizado por Alan Turing mientras trabajaba con su equipo descifrando el código Enigma utilizado por los submarinos alemanes o los U-Boot durante la Segunda Guerra Mundial.

Alan Turing

El teorema de Bayes le sirvió a Turing para salvar a millones de personas.

«En ese momento, los submarinos salían de Francia y recibían órdenes de radio de dónde ir y qué hacer, y esas órdenes eran un lenguaje codificado llamado Enigma. Y la Armada alemana lo había hecho tan complicado que nadie en Reino Unido ni en Alemania pensó que los británicos podrían descifrarlo», recuerda McGrayne.

Pero Turing estaba decidido a hacerlo, aprovechando cuanto pudieran.

«Conocían la organización general de una oración alemana. Se dieron cuenta de que usaban la palabra eins (1 en alemán) en casi todos los mensajes, así que allí tenían tres letras. Esa fue una pista. Así siguieron agregando datos una y otra y otra vez».

Turing y sus colegas crearon un sistema bayesiano para adivinar un tramo de letras en un mensaje Enigma, medir su creencia en la validez de estas conjeturas utilizando métodos bayesianos para evaluar las probabilidades y agregar más pistas a medida que llegaban.

«Eventualmente pudieron leer los mensajes».

Cuando los hechos cambian…

Así, fue utilizado por muchas otras personas y una vez que llegaron las computadoras, sencillamente explotó.

Para darte una idea de cómo funciona, responde esta pregunta: Si obtienes un resultado positivo en una prueba de covid que solo da un falso positivo una vez de cada 1.000, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tengas coronavirus?

Gota con coronavirus

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¿Pensaste que el 99,9%?… La respuesta correcta es que no tienes suficiente información para saberlo.

Es ahí cuando entra en juego el teorema de Bayes. Su notación matemática, esa que está al principio del artículo, parece complicada. Pero es más fácil de entender con un ejemplo que descifrando el significado de todos esos símbolos.

Imagínate que te sometes a una prueba para detectar una enfermedad. La prueba es increíblemente precisa: si la persona tiene la enfermedad, lo dirá correctamente el 99% de las veces; si no, también. 

Pero la enfermedad en cuestión es muy rara; sólo una persona de cada 10.000 la tiene. Esto se conoce como su «probabilidad previa»: la tasa de fondo en la población.

Así que ahora imagina que le hacen la prueba a 1 ‘000.000 de personas. Hay 100 personas que tienen la enfermedad: la prueba identifica correctamente a 99 de ellas. Y hay 999.900 personas que no la tienen: la prueba identifica correctamente a 989,901 de ellas.

Pero eso significa que la prueba, a pesar de dar la respuesta correcta en el 99% de los casos, le ha dicho a 9.999 personas que tienen la enfermedad, cuando en realidad no es así.

Entonces, si obtienes un resultado positivo, en este caso, tu probabilidad de tener la enfermedad es de 99 en 10.098, o poco menos del 1%. Sin el enfoque bayesiano se asustaría a muchas personas y se las enviaría a procedimientos médicos intrusivos y potencialmente peligrosos por un diagnóstico erróneo.

Sin conocer la probabilidad previa, no se sabe cuán probable es que un resultado sea falso o verdadero.

Bill Gates

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«Según Bill Gates, la base del éxito de Microsoft fue el uso de Bayes», cuenta McGrayne.

Este no es un problema hipotético.

En medicina, por ejemplo, una revisión de casos realizada en 2016 encontró que el 60% de las mujeres que se hicieron mamografías anuales durante 10 años tuvieron al menos un falso positivo. 

En los tribunales de justicia, una falla conocida como la «falacia del fiscal», que puede condenar a inocentes, también depende del teorema.

Y eso es sólo la punta del iceberg. Los investigadores utilizan la estadística bayesiana para abordar problemas de formidable complejidad.

El razonamiento bayesiano combinado con la potencia informática avanzada ha revolucionado la búsqueda de planetas que orbitan estrellas distantes; las estadísticas bayesianas contribuyeron a la reducción de la edad del Universo, que a fines de la década de 1990 se calculaba entre 8.000 a 15.000 millones de años y ahora se ha concluido con cierta confianza que es de 13.800 millones de años.

«Hoy en día se utiliza en la genética, para detectar diferencias sutiles en el ADN y las proteínas, así como para proteger la vida silvestre, hacer estudios cerebrales, traducir idiomas extranjeros…», enumera la autora de «La teoría que nunca murió».

«Se ha incrustado en la informática, el aprendizaje automático, la inteligencia artificial.

«Puede que no sea exactamente como lo hizo Bayes, pero se ha modernizado y es increíblemente útil… está en todas partes», señaló McGrayne en conversación con la BBC y concluyó con una cita que se le han atribuido a los economistas John Maynard Keynes y Paul Samuelson, así como al premier británico Winston Churchill y otros, para resumir la esencia del teorema de Bayes:

«Cuando los hechos cambian, yo cambio de opinión. ¿Usted qué hace?».

Imagen de portada: Gentileza de Mattbuck

FUENTE RESPONSABLE: Redacción BBC News Mundo. Diciembre 2021

Matemáticas/Ciencia/Salud/Tecnología

El triángulo de Pascal.

¿Qué son los números triangulares?

¿Qué es este triángulo formado por números que parecen elegidos en forma caótica?

Yo podría sugerirle que lo mire un rato y haga lo siguiente: trate de entretenerse con él. ¿Cómo?

Trate de descubrir leyes o patrones. Es decir, ¿estarán puestos los números al azar? ¿Habrá alguna relación entre ellos? Si bien uno advierte que hay un montón de números uno (de hecho, hay unos en los dos costados del triángulo), ¿cómo habrán hecho para construirlo?

Un poquito de historia.

Este triángulo fue estudiado por Blaise Pascal, un matemático y filósofo francés que vivió solo 39 años (1623-1662), aunque en realidad, los que trabajan en historia de la ciencia, y más precisamente, en historia de la matemática, sostienen que el triángulo y sus propiedades fueron descriptas y eran conocidas ya por los chinos, en particular por el matemático Yanghui, algo así como 500 años antes que naciera Pascal, y también por el poeta y astrónomo persa, Omar Khayyám. Es más, en China, se lo conoce con el nombre del triángulo de Yanghui, y no el de Pascal, como en occidente.

Ahora, algunas observaciones. Como usted advierte, el triángulo queda simétrico. Es decir, da lo mismo leer cada fila desde la izquierda que desde la derecha. El número que aparece en cada fila, tiene dos números arriba de él. Si uno los suma, obtiene el de la fila de abajo. Así es como aparece el 2, porque tiene arriba dos números 1. De la misma forma busque el 10. Verá que tiene en la fila de arriba un 4 y un 6. Si los suma, obtiene 10. Por otro lado, fíjese en algunas diagonales. La primera, está compuesta por todos números uno. La segunda, está compuesta por todos los números naturales. Mire la tercera… {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…} (*)

¿Qué números son éstos? ¿Piense si se le ocurre alguna manera de construirlos sin tener que recurrir al triángulo de Pascal? La sucesión (*) se obtiene, empezando con un número 1 y después, para obtener los siguientes, va sumando 2 (y obtiene el 3), después suma 3 (y obtiene el 6), suma 4 (y obtiene el 10) y así sucesivamente.

Usted se preguntará: ¿Y esto para qué me sirve? Por ejemplo, supongamos que usted está invitado a una fiesta. Al llegar, cada persona saluda a los que ya llegaron, dándole la mano. La pregunta es, si en el salón hay en un determinado momento siete personas, ¿cuántos apretones de mano se dieron en total? ¿Quiere pensar usted y ver si descubre qué relación tiene con los números triangulares?

Sigo yo: al llegar la primera persona, como no había nadie en el salón, no hay nada que contar. Cuando llega la segunda sin embargo, como adentro hay una persona, le da la mano, y ya tenemos uno para incorporar a nuestra lista. Ni bien llega la tercera persona, ésta tiene que darle la mano a las dos personas que hay adentro. Luego, en total, ya se dieron 3 apretones de mano: 1 que había en el momento que llegó la segunda persona y 2 ahora. Recuerde que vamos por tres apretones cuando hay tres personas en el salón. Cuando llegue la cuarta persona, ésta le tiene que dar la mano a las 3 que están adentro, por lo que sumadas a las tres que ya llevábamos, se tienen 6. Esto le muestra cómo esta parte del triángulo resuelve ese problema.

Por supuesto, entiendo perfectamente que nadie se pasa contando los apretones de manos, pero usted deduce que se puede usar también en otras circunstancias similares. Estos apretones de mano van reproduciendo los números triangulares que describí más arriba.

Es decir, esa diagonal del triángulo de Pascal, sirve, en particular, para contar en determinadas situaciones.

Otra curiosidad. Volvamos a la misma diagonal que contiene a los números triangulares:

{1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…}

Ahora, en lugar de restar un término menos al anterior, empiece a sumar de a dos los términos y a escribir los resultados:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

15 + 21 = 36

21 + 28 = 49

28 + 36 = 64

36 + 45 = 81

45 + 55 = 100

Ahora que escribí varios términos, ¿le sugiere algo esto?

Piénselo sola/solo primero y luego lea lo que sigue. ¿Le recuerdan algo estos números? Sigo. Justamente, los números que están en la columna de la derecha, son los cuadrados de los números naturales. Es decir de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Supongamos que uno tiene cinco delanteros en un plantel de fútbol pero sólo usará dos para el partido del domingo

¿De cuántas formas los puede elegir? O un problema equivalente podría ser el siguiente: suponga que le ofrecen cinco entradas para ver espectáculos un determinado día de la semana, pero sólo puede comprar acceso a solamente dos

¿De cuántas formas puede seleccionar dónde ir?

Como se ve, Yo podría seguir dando múltiples ejemplos que conducen todos al mismo lugar. Y la forma de pensar todos, en forma genérica, sería decir:

Si uno tiene un conjunto con cinco elementos ¿De cuántas formas se pueden elegir subconjuntos que contengan dos de esos cinco? Los voy a llamar {A,B,C,D,E}

¿De cuántas formas puede elegir subconjuntos de dos elementos, elegidos entre estos cinco? Esto sería equivalente, a elegir dos delanteros de los cinco, o bien, dos entradas para ver dos shows diferentes, elegidas entre las cinco posibles. Hagamos -juntos-ff la lista completa: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE.

Como usted ve, hay diez formas de elegirlos. Es decir, ¡hay diez formas de elegir subconjuntos de dos elementos seleccionados entre los cinco que hay! ¿Puedo pedirle que ahora vaya hasta el triángulo de Pascal, y se fije en la fila cinco y busque el elemento número tres? [2]

Ahora sí, ¿cómo es la fila número cinco? Es: {1,5,10,5,1}

Por lo tanto, el elemento que lleva el número dos en la fila cinco es justamente el número diez, que contaba el número de subconjuntos de dos elementos elegidos entre cinco.

Hagamos -juntos- otro ejemplo.

Si usted tiene seis camisas, y quiere elegir tres para llevarse en un viaje, ¿de cuántas formas posibles puede hacerlo?

Primero, busque en el triángulo de Pascal qué número debería ser el resultado ¿Qué puede hacer? Busque en la fila seis el elemento que lleva el número tres (recordando que el uno inicial, es el número cero). Vaya a la fila número seis. Es ésta: {1,6,15,20,15,6,1}.

Entonces, en esta fila, el elemento que lleva el número tres, que es el que estamos buscando, es el número 20. Le propongo que vaya usted y lo compruebe y verá que son 20 ¿Qué dice este número? Uno descubre que hay veinte maneras de elegir subconjuntos de tres elementos seleccionados de un conjunto que tiene seis.

Acá voy a parar -por ahora- porque no tengo más espacio, pero entreténgase mirando las diferentes diagonales, sumando filas u otras combinaciones y fíjese qué descubre usted.

Eso tendrá mucho más valor que lo que pueda escribir yo, pero espero haberle dado una idea cómo algo tan banal puede producir tantos resultados diferentes y contestar tantas preguntas.

[1] Estos números, se llaman números triangulares.

[2] Recuerde que las filas las empezamos a contar con la fila cero, y que los elementos en cada fila los empezamos a contar desde el cero también. Es decir, el número uno con el que empieza cada fila, es el número cero de la fila.

Imagen de portada: Gentileza de Página 12

FUENTE RESPONSABLE: Página 12  Por Adrián Paenza

Blaise Pascal/Ciencias matemáticas/Números triangulares/Números naturales.

El modelo matemático que dice que es posible volver al pasado (y soluciona un problema que enfrentan estas teorías).

Imagina que tienes una máquina del tiempo con la que puedes viajar al pasado.

En este momento, tendrías la posibilidad de viajar a finales de 2019 y evitar que se desatara la pandemia de coronavirus.

Tu misión sería encontrarte con el paciente cero, justo antes de que se contagiara y comenzara a esparcir el virus.

Suena bien, ¿no? El problema es que un pequeño detalle te impediría completar esa misión.

Es cierto que algunas interpretaciones de la física teórica afirman que viajar en el tiempo es posible.

Einstein, por ejemplo, era consciente de que sus ecuaciones permitían, en principio, viajar en el tiempo.

Esa posibilidad teórica, sin embargo, se choca con lo que los científicos llaman una «paradoja», que haría lógicamente imposible que el viaje se pudiera realizar.

Esas paradojas son un aguafiestas para los entusiastas de los viajes en el tiempo, pero ahora, una nueva investigación afirma que es posible esquivarlas.

¿Qué son estas paradojas y por qué este nuevo estudio afirma que es posible evitarlas para poder viajar al pasado?

Reloj

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La idea de viajar al pasado crea paradojas que desafían la lógica.

Un nieto que asesina a su abuelo.

Para entender qué es una paradoja, volvamos a la historia de la pandemia.

Si viajas al pasado y evitas que el paciente cero se contagie, inmediatamente se crea una paradoja.

Es decir, si logras detener el inicio de la pandemia, hoy no tendríamos pandemia, por lo tanto, no tendrías motivo para viajar al pasado, entonces no viajarías al pasado y no podrías impedir que se desatara la pandemia.

Esa es la paradoja, un bucle infinito que crea una inconsistencia lógica y que destruye la ilusión de los viajes en el tiempo.

Hay muchas paradojas, pero esta es una de las más famosas.

Se le llama la «paradoja del abuelo», porque su versión original plantea un escenario en el que un nieto viaja al pasado para matar a su abuelo antes de que tuviera a su padre.

Espacio tiempo.

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Desde la física teórica se han planteado varios ejercicios para explicar la posibilidad de viajar en el tiempo.

El problema es que si mata a su abuelo, el viajero nunca podría haber nacido.

Si no puede nacer, no puede viajar, así que el viaje en el tiempo tampoco sería posible.

Esquivar la paradoja.

Para resolver esta paradoja se han propuesto varios ejercicios mentales, pero ahora, dos investigadores en Australia, proponen una solución matemática para evitarla.

Los investigadores querían analizar cómo se comporta la dinámica de un cuerpo, es decir, su movimiento en el espacio-tiempo, al entrar en una curva de viaje al pasado.

Para eso crearon un modelo matemático con el que calcularon que un «agente» que entra en un bucle de viaje al pasado, puede tomar distintos caminos sin que se altere el resultado de sus acciones.

Su ejercicio abstracto muestra que varios agentes pueden comunicarse en el pasado y el presente, sin que haya una relación causa efecto.

Personas

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¿Crees que algún día logremos viajar en el tiempo?

Eso significa que «los eventos se ajustan a sí mismos, de manera que siempre habrá una única solución consistente», le dice a BBC Mundo Germain Tobar, estudiante de física en la Universidad Queensland y autor del estudio, que estuvo supervisado por el profesor Fabio Costa, filósofo y físico teórico.

¿Y qué significa esto?

Volviendo al ejemplo de la pandemia, lo que dice el estudio es que si viajas al pasado podrías hacer lo que quisieras, pero sería imposible que cambiaras el resultado de los hechos.

Es decir, tendrías libre albedrío, pero no podrías evitar que se desatara la pandemia.

Podría ocurrir, por ejemplo, que mientras tratas de detener al paciente cero, sea otra persona la que se contagie, o incluso tú mismo.

Según el modelo de Tobar, los hechos más relevantes se calibrarían constantemente para evitar cualquier inconsistencia (paradoja) y así llegar siempre a un mismo resultado, en este caso, el inicio de la pandemia.

Relojes

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Por ahora, los viajes son solo un ejercicio mental que nos ayudan a entender las leyes del universo.

Comprender el universo

El estudio de Tobar es aplicable solo de manera abstracta en el campo de las matemáticas.

«Es un trabajo interesante», le dice a BBC Mundo Chris Fewster, profesor de matemáticas en la Universidad de York, quien estudia modelos de viajes en el tiempo.

Fewster, sin embargo, advierte que ahora «falta ver si las condiciones abstractas que han impuesto (los autores) se cumplen dentro de las teorías de la física actualmente conocidas».

Tobar dice que ese es precisamente el reto que tienen ahora: poner a prueba su modelo en un escenario de la física.

Por ahora, aunque su trabajo está lejos de lograr que los viajes en el tiempo sean una realidad, Tobar dice que es un avance para entender mejor las leyes que rigen el universo.

Imagen de portada: Gentileza de GETTY IMAGES

FUENTE RESPONSABLE: BBC News Mundo. Por Carlos Serrano. Noviembre 2020.

Albert Einstein/Sociedad/Matemática/Física/Ciencia/Investigación

12 de octubre: cómo era realmente América antes de la llegada de Cristóbal Colón. PARTE II

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MESOAMÉRICA

Establecidos en ciudades monumentales y organizados en grandes imperios o en pequeños Estados independientes, los mesoamericanos se parecían más a lo que los europeos identificaban como “civilizaciones”.

Cuando estos llegaron, cerca de 24 millones de personas, según estimaciones, vivían en el corazón de América.

Esta zona fue cuna de innovaciones y avances tecnológicos, lo que hizo que sus grandes ciudades funcionaran mejor que las europeas, según los expertos.

Los pueblos indígenas consiguieron, por ejemplo, desviar el curso natural de ríos, construir lagos impermeables y plantar dentro de balsas flotantes. Usaban el caucho para jugar a pelota y conocían la rueda, aunque no la usaban porque era inútil en sus terrenos irregulares y sin animales de carga.

Aunque los mayas fueron los únicos en el continente en descubrir la escritura de forma independiente, otras culturas mesoamericanas también dominaron la astronomía, las matemáticas o la poesía oral.

MESOAMÉRICA

Imperio mexica

A finales del siglo XV, el imperio mexica (que más tarde muchos historiadores llamarían “azteca”) estaba en su punto álgido.

Las ciudades-estado de Tenochtitlan, Texcoco y Tacuba habían formado una alianza que tomó el poder de los tepanecas y conquistó la mayor parte del centro y del sur de lo que hoy es México.

Mapa que situa las tres ciudades Tenochtitlan, Texcoco y Tacuba.

Los mexicas no necesariamente tenían presencia militar en los territorios conquistados, pero obligaban a sus nuevos súbditos a enviarles productos y soldados como tributo.

También se casaban con las hijas de los jefes locales para que sus herederos, educados en la capital, tuvieran el futuro comando de las regiones.

Todo esto les permitía mantener la hegemonía.

“En muchos sentidos, no era un sistema tan distinto a lo que se veía en Europa en esa misma época”, dice a BBC Mundo la etnóloga Antje Gunsenheimer, de la Universidad de Bonn, en Alemania.

Grabado de Moctezuma II

El zoológico propio que Moctezuma II tenía dentro de Tenochtitlan era un ejemplo de ostentación del poder mexica. Imagen de Getty

Igual que en Europa, los mexicas mostraban el poder a través de la riqueza y del esplendor de los palacios y jardines en la capital del imperio, Tenochtitlan.

Cuando llegaron los europeos, Tenochtitlan era una ciudad más grande que París.

Se estima que podía haber tenido unos 250.000 habitantes, la mayor densidad de población de América.

Reproducción de cómo se cree que era Tenochtitlan.

Cada barrio de Tenochtitlan tenía su propia estructura política y religiosa, con sus propios templos, escuelas y soldados, cuenta Gunsenheimer. Imagen de Getty.

«Era una urbe refinada, con baños públicos, con una treintena de palacios que albergaban finas cerámicas y elegantes enseres textiles. Se ubicaba en medio de más de 2.000 km 2 de lagos ricos en peces y la agricultura era muy productiva y permitía sostener a mucha población de la zona.”, dijo a BBC Mundo Esteban Mira Caballos, doctor en Historia de América por la Universidad de Sevilla, España.

Pero la ciudad era, más que todo, una hazaña de la ingeniería que no tenía comparación.

Un sofisticado sistema de canales y presas construido a lo largo del tiempo permitía regular la cantidad de agua que llegaba a la capital desde las montañas, por medio de los lagos. De esa manera, se evitaba la inundación demasiado frecuente de Tenochtitlan en períodos de lluvia intensa y se aseguraba suficiente agua dulce para la población.

Grabado de Tenochtitlan

Aunque fue construida en medio de un lago, la capital mexica no se inundaba gracias a un sistema de canales y presas. Imagen de Getty

“Los mexicas vivían en un ambiente muy frágil que tenía que ser muy bien manejado. Y ellos lo hacían perfectamente. Entendían que, con tanta gente en un solo sitio, el riesgo de contaminación de los lagos era alto. Sabemos que había profesionales que recolectaban excrementos y los llevaban a tierra firme para usarlos como abono orgánico en las plantaciones”, dice Gunsenheimer.

Años más tarde, los españoles destruyeron el sistema hidráulico de Tenochtitlan-México y lo reconstruyeron al estilo europeo. A partir de ahí, la ciudad se inundó más veces durante el siglo XVI y sufrió graves epidemias de tifus, prueba de que el sistema original era mejor que el que implementaron los conquistadores.

Imperio tarasco

Los archienemigos de los mexicas son menos conocidos porque tenemos menos evidencias sobre cómo vivían antes de la conquista.

Sin embargo, los tarascos tenían el segundo Estado más grande de Mesoamérica cuando los europeos pisaron por primera vez el continente.

Mapa que sitúa el imperio tarasco y el mexico sobre el mapa actual de México

En su mitología los mexicas se referían a los tarascos como una de las tribus que salieron de su tierra ancestral Aztlán pero no les acompañaron hasta Tenochtitlan.

“Hablar de ellos en esos términos ayudaba a los mexicas a justificar su incapacidad para derrotar a los tarascos y expandir su frontera hacia el noroeste. Es como si dijeran ‘son así de fuertes porque son nuestros parientes, por eso no podemos vencerlos’, dice la antropóloga Sarah Albiez-Wieck, de la Universidad de Colonia, en Alemania a BBC Mundo.

A finales del siglo XV la capital tarasca, Tzintzuntzan, tenía casi 30.000 habitantes y era parte de un centro de poder formado por tres ciudades-estado cerca de un lago, como ocurría en el imperio mexica. A diferencia de este, los expertos creen que en el caso tarasco el poder estaba menos centralizado en una ciudad.

Tzintzuntzan tenía un gran centro religioso con edificios y pirámides de planta mixta conocidas como «yácatas», donde vivían los sacerdotes y realizaban sacrificios rituales y hogueras como señal de que el imperio iba a la guerra.

Reproducción del centro ceremonial de Tzintzuntzan.

El centro ceremonial es la zona mejor conservada de Tzintzuntzan. Imagen de Getty

En relatos de los mexicas y de los españoles, los tarascos también aparecen como grandes artesanos de metales.

“El oeste de México fue la cuna de la metalurgia en Mesoamérica y los tarascos fueron parte de esa tradición. Tanto es así que fueron los primeros en organizar a nivel estatal la extracción y el trabajo de los metales ”, dice Albiez-Wieck.

Montaje con fotografias de adornos y herramientas.

Los líderes tarascos lograron mantener su poder político más tiempo que sus enemigos. Negociaron con los conquistadores españoles y pudieron seguir recibiendo tributos y teniendo subordinados hasta principios del siglo XVII.

Civilización maya

En el siglo XV, la mayoría de las grandes ciudades mayas — como Tikal, Palenque o Copán — con sus pirámides y monumentos imponentes ya estaban en completa decadencia. Sin embargo, algo revolucionario ocurrió en esta civilización.

“La administración de las ciudades mayas pasó a ser más comunal tras la desaparición de los reyes divinos hacia el siglo IX. No creo que llegará a ser una democracia, pero más gente empezó a participar en las decisiones”, dice a BBC Mundo el antropólogo Nikolai Grube, de las Universidades de Texas, en EE.UU. y de Bonn, en Alemania.

Como en la Grecia antigua, el mundo maya siempre había estado formado por ciudades-Estado que competían y entraban en guerras unas con otras, a pesar de tener una cultura y un idioma compartidos. Los reyes tenían un fuerte control sobre las rutas de comercio.

Mapa situando la civilización maya en el siglo XV

Cuando el sistema controlado por la nobleza colapsó parece que la gente aprovechó ese vacío y más personas empezaron a tener acceso a bienes de lujo como el jade y la cerámica.

A la vez, las rutas de intercambio con otros pueblos, ahora libres, permitieron que productos como el oro y el cobre llegaran al mundo maya. “De cierta manera, la gente se hizo más rica en un mundo más globalizado”, cuenta Grube.

La arquitectura de las ciudades también se hizo más modesta. Sin reyes que organizaron el trabajo en obras gigantescas, había terminado la era de los grandes monumentos y palacios. Los templos, hechos por familias, pasaron a ser menores.

Fotografía de un templo de Mayapán.

Los templos más austeros de Mayapán reflejan la nueva era en la que se encontraba la civilización maya en el siglo XV. Imagen de Getty.

En la península de Yucatán, Mayapán fue la mayor ciudad maya antes de la conquista y Nojpetén, capital de los Itzá Maya, fue tan poderosa que llegó a controlar todo el norte de lo que hoy es Guatemala.

El cambio político y económico no era la primera revolución cultural en esta civilización: los mayas ya tenían el conocimiento astronómico más avanzado del continente, basado en su sofisticado conocimiento de matemáticas.

 Códice Dresden: escritos mayas donde se ve un símbolo que correspondía al cero en matemáticas.

“Sabemos que en la Mesopotamia se hacían cálculos con la idea del cero, pero sin un símbolo. Los mayas sí lo tenían”, explica Grube.

Aunque la idea del cero ya era utilizada, el símbolo del cero es importante porque permitía representar números más largos de manera más sencilla y hacer cálculos más complejos. Así los mayas desarrollaron un sistema de calendarios que mezclaba creencias religiosas, el año solar de 365 días y otros fenómenos astronómicos como los ciclos de Venus, de la Luna y de otros planetas con enorme precisión.

Otro hecho fascinante que ocurrió pocas veces en la historia de la humanidad es que los mayas también fueron los únicos del continente en descubrir la escritura de manera independiente.

El sistema de escritura maya era semejante a los jeroglíficos egipcios y permitía escribir todas las palabras de su idioma. Hoy solo se preservan cuatro libros mayas, con textos ceremoniales y de astronomía, ya que el resto se perdió durante y después de las batallas contra los españoles.

Por otro lado, el hecho de que nunca tuvieron un gobierno unificado les dio una ventaja sobre los invasores y nunca pudieron ser completamente conquistados.

“La península de Yucatán y las zonas montañosas de Guatemala estaban divididas en muchos estados pequeños liderados por grupos o por señores. 

Aunque algunos se unieron a los españoles, gran parte no fue sometida al control del imperio colonial ni de las autoridades mexicanas hasta el principio del siglo XX”, dice Nikolai Grube.

Imagen de portada: Gentileza de GETTY IMAGES

FUENTE RESPONSABLE: Equipo de Periodismo Visual de BBC News Mundo/América Latina/12 de octubre

Arqueología: el hallazgo de una antigua tabla de arcilla revoluciona la matemática.

A partir de una tablilla con triángulos, arqueólogos aseguran que la geometría es más antigua de lo que pensábamos.

El ejemplo más antiguo de geometría aplicada está impreso en una antigua tabla de arcilla babilónica de 3.700 años de antigüedad. 

Se trata de un documento catastral elaborado por un experto para resolver una disputa relativa a la división de un terreno, en el que los ángulos rectos se trazaron utilizando el sistema de triples pitagóricos, más de mil años antes de que fuera formulado por los griegos.

El descubrimiento de la importancia del hallazgo, conservado en el Museo Arqueológico de Estambul, se debe a Daniel Mansfield, matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia, que publicó los resultados del estudio en la revista Foundations of Science.

La tablilla de arcilla, hallada en Irak en 1894 e indicada con las iniciales Sí.427, «es el único ejemplo conocido de un documento catastral del período babilónico antiguo.

En este caso nos dice los detalles legales y geométricos de un campo que se dividió después de la venta de una parte», explicó Mansfield.

«Con esta tableta realmente podemos ver por primera vez por qué los babilonios estaban interesados en la geometría: se usó para trazar los límites de una manera precisa», agregó.

El experto detalló que «esto fue en un momento en que la tierra comenzaba a volverse privada, la gente quería establecer los límites adecuados para tener buenas relaciones de vecindad y esto es exactamente lo que nos dice esta tableta».

Según Mansfield, el descubrimiento también puede tener importantes implicaciones para la historia de las matemáticas, porque «nadie esperaba que los babilonios usaran las triples pitagóricas de esta manera».

Una lista de los útiles para aplicaciones terrestres se muestra en una segunda tablilla del mismo período, llamada Plimpton 322, que los expertos babilónicos podrían haber usado como una especie de manual para resolver sus problemas prácticos.

Una estrategia muy diferente a la trigonometría de los griegos, concebida observando las estrellas en el siglo II a.C.

El autor ahora se enfrenta a una serie de desafíos con respecto a esta tablilla. El primero de ellos es el uso del sistema numérico base 60 utilizado por los antiguos babilonios. Por otro lado, descubrir qué significado tienen algunos números y formas extra que hay en la tablilla.

Finalmente, tratar de encontrar el origen de la geometría en la historia de la humanidad.

FUENTE: ÁMBITO – Cultura – Hallazgos arqueológicos

CIENCIAS MATEMÁTICAS

¿A qué sabio persa debemos los algoritmos, el álgebra y el uso del cero?

En un mundo en el que los algoritmos están comenzando a decidir vidas enteras, desde la posibilidad de lograr puestos de trabajo hasta la música que escuchamos o las parejas que nos sugieren las aplicaciones, resulta curioso pensar que la sofisticada palabra algoritmo procede del apellido de un gran matemático persa, nacido en el actual Uzbekistán, que vivió hace más de mil años: Mohamed ben Musa Khwarazmi, arabizado como al Khwarizmi y de ahí latinizado como Algoritmi. En castellano, este matemático y geógrafo que vivió entre el 780 y el 850 aproximadamente es conocido como Al Juarismi y su nombre también ha dado lugar a la palabra guarismo.

El matemático Al-Juarismi en un sello soviético  

El matemático Al-Juarismi

REDACCIÓN / Terceros

En un tiempo de esplendor del mundo islámico, Al-Juarismi fue el astrónomo y jefe de la biblioteca de la Casa de la Sabiduría de Bagdad –comparada con frecuencia con la Biblioteca de Alejandría–, y sus libros y hallazgos le convirtieron en padre del álgebra, palabra que procede del título de uno de sus tratados, el Hisab al-yabrwa’l muqabala (Compendio de cálculo por restauración y reducción). Un libro de uso eminentemente práctico para el comercio, las herencias o la mensura de tierras, pero también el primer tratado conocido que estudia a fondo la resolución de ecuaciones y que fue usado hasta el siglo XVI en las universidades europeas.

Plato de cerámica con la efigie de Al-Juarismi, en la madrasa Matpana Baya de Jiva

Plato de cerámica con la efigie de Al-Juarismi, en la madrasa Matpana Baya de Jiva  REDACCIÓN / Terceros

Al-yabr, restauración, la palabra del título que ha dado origen al término álgebra, es una de las operaciones básicas que ofrece para resolver ecuaciones y que consiste, como cualquier estudiante conoce, en pasar los términos negativos de un lado de la ecuación como positivos al otro. Mientras que la otra operación, la muqabala, consiste en simplificar la ecuación agrupando los términos similares.

Las cifras indias se verán como árabes en Occidente por llegar desde el mundo islámico.

Pero es clave por muchas más razones: a él le debemos los números que utilizamos en Occidente, los indios. En su Libro de la suma y de la resta según el cálculo indio describe el sistema decimal que ha observado en la matemática proveniente de la India y es el vehículo de difusión de estas cifras en el mundo árabe y, de ahí, al europeo, donde justamente se verán como cifras árabes, las nuestras actuales.

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, sería el último puente para que llegaran los números indios a Occidente.

Una Europa donde esos guarismos sustituirán a los menos prácticos números romanos y traerán el cero. Un cero que proviene de la palabra sunya en sánscrito, vacío, que pasa a ser sifr en árabe, y que Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci llamó en el siglo XIII zefiro en italiano, palabra que quedó contraída a zero por los venecianos. Un Fibonacci cuyo padre era comerciante en Bejaia, Argelia, donde conoció las cifras que su hijo promovería en una Europa en la que cambiarían el pensamiento matemático y sus posibilidades aunque aún tardarían siglos en sustituir completamente a las mayúsculas de la antigua Roma.

FUENTE: LA VANGUARDIA – CULTURA – Justo Barranco – Barcelona