Maryna Viazovska, la ucraniana que resolvió un problema de siglos de antigüedad y que es una de las matemáticas más admiradas.

Maryna Viazovska es la segunda mujer en la historia que gana la Medalla Fields, distinción considerada como el Nobel de matemáticas.

Desde que se comenzaron a otorgar, en 1936, sólo una mujer la había obtenido: la iraní Maryam Mirzakhani, en 2014.

«Es una matemática brillante», le dijo Christian Blohmann a BBC Mundo días antes. «La admiro porque su solución al problema del empaquetamiento de esferas es muy hermoso y extremadamente inesperado».

El investigador del Instituto Max Planck de Matemáticas, en Alemania, hace referencia a que en 2016, Viazovska resolvió dos casos del famoso problema geométrico que había propuesto, en el siglo XVII, el gran científico alemán Johannes Kepler.

Por esa hazaña, ha recibido varias distinciones, pero su aporte no se ha quedado ahí.

«A raíz del resultado de Viazovska, en los últimos cinco años, se han estado abriendo líneas de investigación en diferentes sitios del mundo», le dice a BBC Mundo Pablo Hidalgo, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España.

La experta en teoría de números fue distinguida en el Congreso Internacional de Matemáticos, en una ceremonia en Finlandia.

Los otros tres ganadores del reconocimiento que se entrega a matemáticos menores de 40 años, cada cuatro años, fueron: el francés Hugo Duminil-Copin, el estadounidense June Huh y el británico James Maynard.

El nombre de Viazovska venía sonando fuerte para alzarse con este galardón, incluso antes del Congreso que se celebró en 2018. En BBC Mundo, te contamos por qué.

Hija de Euclides

Albert Einstein lo dijo: «Si Euclides no logró encender tu entusiasmo juvenil, no naciste para ser un pensador científico».

El matemático griego es precisamente uno de los héroes de Viazovska, que dice admirar las figuras extraordinarias que fueron capaces de «cambiar las matemáticas o la forma en que uno piensa sobre ellas».

Euclides

FUENTE DE LA IMAGEN – SCIENCE PHOTO LIBRARY

Así lo contó en una entrevista hecha por los organizadores del Premio New Horizons in Mathematics, distinción que se le otorgó en 2018.

Viazovska nació en Kyiv y desde pequeña le fascinaron las matemáticas, así que cuando llegó la hora de decidir su carrera universitaria, no tardó mucho.

Algo que le gusta de esa ciencia es que es posible determinar dónde está «la verdad», distinguir lo incorrecto de lo correcto.

Tras graduarse en la Universidad Nacional Taras Shevchenko, se fue a Alemania a hacer sus estudios de posgrado.

Durante su postdoctorado en Berlín, uno de los problemas que incluyó en su propuesta de investigación fue el de las esferas que Kepler formuló en 1611.

Se concentró en él aproximadamente por dos años y llegó el momento «mágico» de encontrar la solución.

«Resultó ser más fácil de lo que pensé».

Y aunque en esa entrevista deja ver sus dotes de pedagoga al simplificar el problema en una pregunta: «¿cuántas pelotas puedes meter en una caja muy grande?», lo cierto es que las matemáticas que usó para llegar a su respuesta son de una complejidad inmensa.

Pensando en naranjas

Para Hidalgo, ese problema «tiene cierta trascendencia para el mundo real en el sentido de que personas sin estudios matemáticos pueden entender de qué se trata» y hasta pudieron haberse enfrentado a él en algún momento:

¿Cuál es la forma más óptima de ocupar un espacio con un cierto número de esferas, por ejemplo, naranjas?

Kepler se planteó el problema en tres dimensiones.

Johann Kepler

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

«Seguramente los fruteros ya se habían dado cuenta de que la mejor manera de organizar las naranjas era en forma piramidal», dice el investigador español.

«Pero hay una diferencia sustancial entre: ‘parece que esa forma ocupa bien el espacio’ y tener la certeza de que ‘realmente esa forma es inmejorable para ocupar el espacio'».

Kepler no lo pudo demostrar y no fue el único, matemáticos extraordinarios tampoco lo consiguieron.

Fue a finales de los años 90 del siglo XX, cuando el matemático estadounidense Thomas Hales hizo la demostración para tres dimensiones.

Pero lo fascinante de esta conjetura es que se puede llevar a círculos (dos dimensiones) o a esferas de cualquier dimensión.

«Lo que Viazovska consigue en 2016 es generalizar el problema».

Encontró la forma óptima de empaquetar esferas de ocho dimensiones.

«No es que se hayan complicado los matemáticos inventando una forma extraña de empaquetar esferas, es el mismo problema, pero en una dimensión que como humanos no podemos visualizar», indica Hidalgo.

Celular

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

Y aunque dichos empaques de esferas de dimensiones superiores sean difíciles de visualizar, «son objetos eminentemente prácticos», escribió en 2016, la matemática Erica Klarreich, en el artículo de la revista Quanta: Sphere Packing Solved in Higher Dimension.

«Están íntimamente relacionados con los códigos de corrección de errores que utilizan los teléfonos celulares, las sondas espaciales e internet para enviar señales a través de canales ruidosos».

25 páginas

De acuerdo con Hidalgo, la demostración a la que llegó Hales «era muy larga y muy complicada».

Su resultado lo presentó en unas 250 páginas y necesitó muchos cálculos con computadoras.

Naranjas agrupadas en forma piramidal

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

«Se tardaron casi 20 años en comprobar que esos cálculos con ordenadores estaban bien».

«Mientras que Viazovska hizo, para el problema de dimensión ocho, un artículo de 25 páginas».

«Si le quitamos la introducción, las referencias bibliográficas y otros aspectos de forma, ella tiene 10 o 15 páginas de matemáticas, nada más, y con ellas demuestra un problema en una dimensión superior, por lo que podríamos decir que es más difícil que el que demostró Hales».

Destaca el «trabajo tan minucioso, tan exacto, que hace una demostración más sencilla de entender que la anterior, que ocupó decenas de páginas».

«Eso no quiere que sus páginas de matemáticas sean sencillas, son complejas», señala. Pero para los expertos, son 10 páginas de matemáticas puras.

Tablero con ecuaciones

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

Desde Suiza, Özlem Imamoglu, profesora del departamento de Matemáticas de la Escuela Politécnica Federal de Zúrich (ETH Zürich), hace notar que la solución a la que llegó Viazovska «mediante la construcción de las llamadas funciones mágicas fue un logro espectacular»:

«La existencia de tales funciones había sido conjeturada por (Henry) Cohn y (Noam) Elkies en 2003, pero siguió siendo esquiva a pesar de los esfuerzos de muchos matemáticos brillantes», le señala a BBC Mundo.

«La sencillez y elegancia de su demostración es asombrosa y admirable».

Y sorprendente también sería que, tras resolver el problema del empaquetamiento de esferas en dimensión ocho, tan solo una semana después -esta vez con otros colegas- resolvió el problema en dimensión 24.

Su primera demostración es considerada una obra maestra, que le permitió a sus compañeros «entender bien el problema y generalizarlo para resolver un problema similar, aunque más difícil aún», dice Hidalgo.

Aclara que el problema de los empaquetamientos óptimos en dimensiones altas sigue abierto, pues sólo se han hallado las configuraciones para la dimensión ocho y la 24.

Los puentes

Los expertos destacan que la belleza de la solución a la que llegó Viazovska es que interconecta diferentes áreas de las matemáticas.

Su resultado del empaquetado de esferas tiene mucho que ver con el análisis de señales o el análisis de Fourier, matemático y físico francés del siglo XIX.

La transformada de Fourier

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

La transformada de Fourier es una operación matemática que se usa en diferentes disciplinas.

«Toda la potencia del resultado de Viazovska surge de juntar, de maneras que no se conocían, dos áreas de las matemáticas: la teoría de números y el análisis de Fourier», explica Hidalgo.

Y ahí, en su opinión, radica la fuerza de las matemáticas actuales.

Hay áreas que han evolucionado separadamente y «lo difícil y realmente interesante de las últimas décadas es establecer puentes entre ellas».

«Puede ser extremadamente fructífero si alguien es capaz de establecer un puente robusto entre dos áreas distintas de las matemáticas y eso es lo que precisamente hizo Viazovska».

«Necesitas mucho conocimiento y entendimiento sobre cuáles son las propiedades importantes de cada área para realmente poder juntarlas. De esa unión es que surgió su resultado».

«Gracias a que estableció el contacto entre las dos áreas ya se entiende por dónde van las relaciones».

«Ha abierto nuevas matemáticas que se siguen explorando y dando resultados y, con seguridad, eso seguirá sucediendo en el futuro».

De hecho, Imamoglu señala que aunque Viazovska es «más famosa» por su solución al problema de empaquetamiento de esferas, «su trabajo sobre las fórmulas de interpolación de Fourier y las cuestiones de minimización de energía», que ha realizado junto a otros distinguidos matemáticos, «merecen tanto reconocimiento».

«Colaboración»

Cuando recibió el Premio New Horizons, Viazovska le agradeció a sus profesores, colegas y coautores, «ya que sin ellos ninguna de mis investigaciones sería posible».

Medalla Fields

FUENTE DE LA IMAGEN – CARL DE SOUZA/AFP VIA GETTY IMAGES. La Medalla Fields reconoce los logros sobresalientes de matemáticos menores de 40 años. Para muchos, es la máxima distinción que se puede obtener en ese campo.

«La ciencia es un esfuerzo de colaboración, y es posible un progreso rápido cuando las personas comparten abiertamente sus conocimientos e ideas», indicó.

Actualmente es profesora en la prestigiosa Escuela Politécnica Federal de Lausanne (EPFL), de Suiza.

Blohmann la conoció cuando era estudiante de doctorado en Alemania.

«Maryna es una persona extremadamente amable y modesta. Los reconocimientos y posiciones que ha conquistado no la han cambiado para nada», cuenta.

El 16 de marzo, el departamento de matemáticas del icónico ETH Zürich, donde estudió Einstein, ofreció la primera de las Conferencias Alice Roth, que se crearon en honor a la gran matemática suiza.

El objetivo con dichas sesiones es honrar a las mujeres que han conseguido logros sobresalientes en matemáticas.

Viazovska fue la invitada y su ponencia la tituló: «Pares de interpolación de Fourier y sus aplicaciones».

Antes de adentrarse en las matemáticas de su presentación, recordó a una colega y compatriota.

«Reconstruiremos la paz»

«Hace tres semanas mi vida cambió para siempre de una manera muy dramática que nunca hubiese imaginado. Prepararme para esta ponencia me resultó muy difícil», contó.

Maryna Viazovska

FUENTE DE LA IMAGEN – CORTESÍA: ETH ZÜRICH. El título de la conferencia de Viazovska, que organizó el departamento de matemáticas del ETH Zürich, se tituló: Pares de interpolación de Fourier y sus aplicaciones.

«Hoy me gustaría celebrar la vida y los logros de Alice Roth, pero también hay otra matemática que me gustaría recordar y espero que me acompañen.

Quiero también dedicar mi conferencia a Yulia Zdanovska, una matemática y científica informática de 21 años, cuya vida trágicamente terminó el 8 de marzo en la ciudad de Járkif».

Zdanovska se quedó para «defender» la ciudad, tras la invasión rusa, pero «desgraciadamente murió en un ataque con un misil».

«Los ucranianos están pagando el precio más alto por nuestras creencias y por nuestra libertad».

Agradeció el apoyo recibido en estos «momentos de oscuridad».

«Creo que saldremos adelante de alguna manera y reconstruiremos la paz, reconstruiremos nuestro mundo y, por supuesto, la ciencia y el pensamiento creativo jugarán un rol importante en eso».

Después, se adentró en la magia de sus matemáticas.

Imagen de portada: VESA MOILANEN/LEHTIKUVA/AFP VIA GETTY IMAGES. Maryna Viazovska con la Medalla Fields.

FUENTE RESPONSABLE: BBC News Mundo. Margarita Rodríguez. 5 de julio 2022.

Ciencia/Ucrania/Mujeres Científicas

Qué es el teorema de Bayes, el potente método para generar conocimiento que nació cuando trataban de demostrar un milagro.

De acuerdo, no es la manera más común ni, por supuesto, la más clara de empezar un artículo pero resulta que es de eso que vamos a hablar, algo que, como dice el título, tiene que ver con conocimiento y con milagros.

Se trata del teorema de Bayes y, aunque muchos de nosotros no hemos oído hablar de él, las estadísticas bayesianas han permeado todo, desde la física -con interpretaciones bayesianas de la mecánica cuántica y defensas bayesianas de las teorías de cuerdas y multiverso- hasta la investigación del cáncer y el covid, pasando por la ecología, la filosofía, la neurología, la psicología, además de la informática.

Hay hasta científicos cognitivos que han conjeturado que nuestros cerebros incorporan algoritmos bayesianos al percibir, deliberar y decidir, y fanáticos del teorema que señalan que si adoptáramos el razonamiento bayesiano consciente (más allá del procesamiento bayesiano inconsciente que supuestamente emplea nuestro cerebro), el mundo sería mejor.

Ante todo eso, vale la pena saber un poco sobre esa fórmula con la que empezamos y su autor.

Él

«Thomas Bayes fue un ministro presbiteriano en el siglo XVIII», empezó contándole a la BBC Sharon Bertsch McGrayne, autora del libro «La teoría que nunca murió».

Firma de Bayes

De Bayes no hay retratos, pero tenemos su firma.

«Fue parte de una generación que no pudo asistir a la universidad en Oxford o Cambridge, las principales universidades inglesas en ese momento, porque no era la Iglesia de Inglaterra.

«Esto fue una suerte para Bayes porque se fue al norte a Escocia, que era presbiteriana y tenía una universidad mucho mejor en Edimburgo en ese momento, y allí estudió teología, como su padre, y matemáticas, que era su verdadero interés, y se convirtió en un matemático aficionado».

Bayes logró mezclar sus dos intereses, escribió al menos un libro sobre matemáticas y pasó gran parte de su tiempo estudiando las obras de otros matemáticos y teólogos.

Así, comenzó a desarrollar una idea.

La idea

«Fue durante una gran controversia religiosa de si se podía usar la evidencia del mundo natural para demostrar que Dios existe».

Uno de los que participó en el debate fue el filósofo David Hume quien publicó, en 1748, el hasta hoy influyente libro «Investigación sobre el entendimiento humano», cuestionando, entre otras cosas, la existencia de milagros.

David Hume, 1711-1776. Historidor y filósofo, pintado por Allan Ramsay en 1754.

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

David Hume, 1711-1776. Historiador y filósofo, pintado por Allan Ramsay en 1754.

Según Hume, la probabilidad de que las personas afirmaran incorrectamente que habían visto la resurrección de Jesús superaba con creces la probabilidad de que el evento hubiera ocurrido en primer lugar.

«Un milagro es una violación de las leyes de la naturaleza; y como una experiencia firme e inalterable ha establecido estas leyes, la prueba contra un milagro, por la naturaleza misma del hecho, es tan completa como se pueda imaginar que cualquier argumento basado en la experiencia lo sea», escribió el filósofo.

Esto no le cayó bien al reverendo y, queriendo demostrar que Hume estaba equivocado, empezó a tratar de cuantificar la probabilidad de un evento imaginándose situaciones como la siguiente:

Imagínate que estás en una habitación y a tus espaldas está una mesa.

Alguien lanza una pelota que aterriza en esa mesa pero, sin mirar, no tienes forma de saber dónde.

Entonces, le pides a esa persona que lance otra pelota y te diga si cayó a la derecha o a la izquierda de la primera. Si aterrizó hacia la derecha es más probable que la primera esté en el lado izquierdo de la mesa, pues supones que hay más espacio a ese lado para que caiga la segunda bola.

Con cada nueva pelota que se lance, puedes actualizar tu conjetura e ir precisando la ubicación de la original.

De manera similar, pensó Bayes, los diversos testimonios de la resurrección de Cristo indicaban que el evento no podía descartarse de la forma en que Hume afirmó.

"La resurrección", pintada circa 1475, por el artista español Bartolomé Bermejo (ca 1440-ca 1498).

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

«La resurrección», pintada circa 1475, por el artista español Bartolomé Bermejo (ca 1440-ca 1498).

«Se le ocurrió un teorema de una línea realmente simple que sirve para trabajar con datos incompletos y dijo que está bien comenzar con una idea a medias sobre una situación, siempre y cuando modifiques implacablemente tus ideas iniciales cada vez que aparezca nueva información», señaló McGrayne.

«Nos dio un razonamiento matemático para situaciones altamente inciertas».

El rechazo

Bayes no publicó su teorema pero un amigo suyo, Richard Price, un matemático aficionado, lo desarrolló y, en 1767, publicó «Sobre la importancia del cristianismo, sus evidencias y las objeciones que se le han hecho», en el que usó las ideas de Bayes para desafiar el argumento de Hume.

«El punto probabilístico básico» de Price, dice el historiador y estadístico Stephen Stigler en su artículo «El verdadero título del ensayo de Bayer», «fue que Hume subestimó el impacto de que hubiera varios testigos independientes de un milagro, y que los resultados de Bayes mostraron cómo la multiplicación de incluso evidencia falible podría abrumar la gran improbabilidad de un evento y establecerlo como un hecho».

Quizás ni siquiera así Price logró probar la existencia de los milagros, pero sí sacó a la luz pública algo que de otra forma se habría quedado oculto entre los papeles del para entonces ya difunto Bayes.

No obstante, el teorema cayó en la oscuridad hasta que el ilustre matemático francés Pierre Simon Laplace formalizó la visión de Bayes y mostró claramente cómo se podía aplicar a principios del siglo XIX.

Retrato de Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749-París, 1827), marqués de Laplace, matemático y astrónomo francés.

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749-París, 1827), marqués de Laplace, matemático y astrónomo francés, fue quien le dio prominencia al trabajo de Bayes.

A partir de entonces, entró y pasó de moda, se aplicó en una ciencia tras otra sólo para luego ser condenado por ser vago, subjetivo o poco científico, y se convirtió en la manzana de la discordia entre campos rivales de matemáticos antes de disfrutar de un renacimiento en los últimos años.

¿Por qué?

Recuerda que el enfoque bayesiano dice que puedes comenzar con una estimación subjetiva de una probabilidad, cualquier probabilidad, independientemente de si hay algún dato.

¿Cuán probable es que Dios exista? ¿Mutará el nuevo coronavirus para inutilizar las vacunas? ¿Cuál es la posibilidad de una guerra nuclear antes del 1 de enero de 2030?

Habiendo comenzado con lo que es poco más que una suposición, usamos la regla de Bayes para revisar nuestra opinión a medida que llegan nuevos datos.

John Stuart Mill, el filósofo y economista político británico del siglo XIX, lo llamó «la ignorancia acuñada en la ciencia».

Durante mucho tiempo, el enfoque bayesiano fue tabú en las estadísticas convencionales, pero no murió, y a lo largo de las décadas personas inteligentes encontraron formas inteligentes de aplicarlo.

Enigma

Un caso sorprendente es que el teorema de Bayes fue utilizado por Alan Turing mientras trabajaba con su equipo descifrando el código Enigma utilizado por los submarinos alemanes o los U-Boot durante la Segunda Guerra Mundial.

Alan Turing

El teorema de Bayes le sirvió a Turing para salvar a millones de personas.

«En ese momento, los submarinos salían de Francia y recibían órdenes de radio de dónde ir y qué hacer, y esas órdenes eran un lenguaje codificado llamado Enigma. Y la Armada alemana lo había hecho tan complicado que nadie en Reino Unido ni en Alemania pensó que los británicos podrían descifrarlo», recuerda McGrayne.

Pero Turing estaba decidido a hacerlo, aprovechando cuanto pudieran.

«Conocían la organización general de una oración alemana. Se dieron cuenta de que usaban la palabra eins (1 en alemán) en casi todos los mensajes, así que allí tenían tres letras. Esa fue una pista. Así siguieron agregando datos una y otra y otra vez».

Turing y sus colegas crearon un sistema bayesiano para adivinar un tramo de letras en un mensaje Enigma, medir su creencia en la validez de estas conjeturas utilizando métodos bayesianos para evaluar las probabilidades y agregar más pistas a medida que llegaban.

«Eventualmente pudieron leer los mensajes».

Cuando los hechos cambian…

Así, fue utilizado por muchas otras personas y una vez que llegaron las computadoras, sencillamente explotó.

Para darte una idea de cómo funciona, responde esta pregunta: Si obtienes un resultado positivo en una prueba de covid que solo da un falso positivo una vez de cada 1.000, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tengas coronavirus?

Gota con coronavirus

FUENTE DE LA IMAGEN – SCIENCE PHOTO LIBRARY

¿Pensaste que el 99,9%?… La respuesta correcta es que no tienes suficiente información para saberlo.

Es ahí cuando entra en juego el teorema de Bayes. Su notación matemática, esa que está al principio del artículo, parece complicada. Pero es más fácil de entender con un ejemplo que descifrando el significado de todos esos símbolos.

Imagínate que te sometes a una prueba para detectar una enfermedad. La prueba es increíblemente precisa: si la persona tiene la enfermedad, lo dirá correctamente el 99% de las veces; si no, también. 

Pero la enfermedad en cuestión es muy rara; sólo una persona de cada 10.000 la tiene. Esto se conoce como su «probabilidad previa»: la tasa de fondo en la población.

Así que ahora imagina que le hacen la prueba a 1 ‘000.000 de personas. Hay 100 personas que tienen la enfermedad: la prueba identifica correctamente a 99 de ellas. Y hay 999.900 personas que no la tienen: la prueba identifica correctamente a 989,901 de ellas.

Pero eso significa que la prueba, a pesar de dar la respuesta correcta en el 99% de los casos, le ha dicho a 9.999 personas que tienen la enfermedad, cuando en realidad no es así.

Entonces, si obtienes un resultado positivo, en este caso, tu probabilidad de tener la enfermedad es de 99 en 10.098, o poco menos del 1%. Sin el enfoque bayesiano se asustaría a muchas personas y se las enviaría a procedimientos médicos intrusivos y potencialmente peligrosos por un diagnóstico erróneo.

Sin conocer la probabilidad previa, no se sabe cuán probable es que un resultado sea falso o verdadero.

Bill Gates

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

«Según Bill Gates, la base del éxito de Microsoft fue el uso de Bayes», cuenta McGrayne.

Este no es un problema hipotético.

En medicina, por ejemplo, una revisión de casos realizada en 2016 encontró que el 60% de las mujeres que se hicieron mamografías anuales durante 10 años tuvieron al menos un falso positivo. 

En los tribunales de justicia, una falla conocida como la «falacia del fiscal», que puede condenar a inocentes, también depende del teorema.

Y eso es sólo la punta del iceberg. Los investigadores utilizan la estadística bayesiana para abordar problemas de formidable complejidad.

El razonamiento bayesiano combinado con la potencia informática avanzada ha revolucionado la búsqueda de planetas que orbitan estrellas distantes; las estadísticas bayesianas contribuyeron a la reducción de la edad del Universo, que a fines de la década de 1990 se calculaba entre 8.000 a 15.000 millones de años y ahora se ha concluido con cierta confianza que es de 13.800 millones de años.

«Hoy en día se utiliza en la genética, para detectar diferencias sutiles en el ADN y las proteínas, así como para proteger la vida silvestre, hacer estudios cerebrales, traducir idiomas extranjeros…», enumera la autora de «La teoría que nunca murió».

«Se ha incrustado en la informática, el aprendizaje automático, la inteligencia artificial.

«Puede que no sea exactamente como lo hizo Bayes, pero se ha modernizado y es increíblemente útil… está en todas partes», señaló McGrayne en conversación con la BBC y concluyó con una cita que se le han atribuido a los economistas John Maynard Keynes y Paul Samuelson, así como al premier británico Winston Churchill y otros, para resumir la esencia del teorema de Bayes:

«Cuando los hechos cambian, yo cambio de opinión. ¿Usted qué hace?».

Imagen de portada: Gentileza de Mattbuck

FUENTE RESPONSABLE: Redacción BBC News Mundo. Diciembre 2021

Matemáticas/Ciencia/Salud/Tecnología

Paul Erdős, el extraordinario genio matemático que nunca tuvo posesiones ni aprendió a cortar en dos una toronja.

Sabía mucho de lo que muchos sabemos poco y poco de los que muchos sabemos más.

Si hubieras conocido a Paul Erdős cuando tenía 4 o 5 años, te habría preguntado la fecha y hora de tu nacimiento para calcular mentalmente cuántos segundos habías vivido.

Si lo hubieras conocido dos o tres años más tarde, te habría dado la solución a algún problema que se hubiera inventado, como cuánto tiempo te tomaría llegar al Sol en tren.

Pero si le hubieras pedido a los 14 años que se amarrara los cordones de los zapatos, no habría sabido cómo hacerlo.

No era lo único que no sabía hacer.

«Recuerdo claramente, acababa de ir a Inglaterra a estudiar. Era la hora del té y sirvieron pan. Me daba mucha vergüenza admitir que nunca había untado un trozo de pan con mantequilla».

Tenía 21 años de edad.

Al final, se animó a intentarlo. «No fue tan difícil», contó años después.

Mantequilla sobre el pan

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

Toda una ciencia…

La razón de tal discordancia está en las circunstancias de su nacimiento.

Ocurrió el mismo día de 1913 en Hungría en el que sus dos hermanas, de 3 y 5 años de edad, murieron de escarlatina.

Su padre, poco después del estallido de la Primera Guerra Mundial, fue hecho prisionero por los rusos y regresó a casa desde Siberia solo seis años más tarde.

Su madre, aterrada de que su precioso hijo contrajera una enfermedad fatal, prefirió educarlo en casa, con la ayuda de una institutriz, y se dedicó a mimarlo y protegerlo de los problemas cotidianos.

Ambos padres eran profesores de matemáticas y, leyendo los libros que tenían en casa, Erdős se enamoró de los números desde temprana edad.

«Eran mis amigos. Podía depender de que siempre estarían ahí y siempre se comportarían de la misma manera», recordaba cuando ya era el legendario matemático en el que se convirtió.

Es por eso que antes de aprender a untarle mantequilla al pan, Erdős publicó su primer artículo académico.

«No fue publicado a una edad fenomenalmente temprana como la de otros niños prodigios húngaros que vinieron después», señalaba, como si no fuera una hazaña presentar una solución a un problema matemático ante sus pares y consagrarse a los 18 años.

Cursaba su segundo año de carrera universitaria en la Universidad Péter Pázmány de Budapest, y su trabajo era una demostración asombrosamente simple del teorema de Chebyshev, que dice que siempre se puede encontrar un número primo entre cualquier número entero (mayor que 1) y su doble.

Números.

Es decir, había que probar que así como entre el 2 y su doble, 4, hay un número primo -el 3-, y entre el 4 y su doble, 8, hay dos números primos -5 y 7-, así es para todos los demás números.

Al descubrir una elegante demostración de un famoso teorema de la teoría de números, no sólo había dejado la primera de las que serían cuantiosas huellas en el mundo matemático; también, había logrado algo que sería siempre su aspiración: encontrar, solo o con colegas, las mejores soluciones, «las más simples», de cada problema matemático concebible.

Como muchos matemáticos, creía que las verdades matemáticas se descubren, no se inventan.

Pero, según él, éstas estaban escritas en un libro transfinito («transfinito» es un concepto matemático para algo más grande que el infinito) de teoremas que el S.F. -o el Supremo Fascista, como llamaba a Dios-, y de vez en cuando, si estaba de buen humor o distraído, permitía que los humanos las vieran.

Es por eso que cuando veía algún trabajo matemático que lo impresionaba, expresaba su admiración diciendo: «Viene directamente de El libro».

Nómada matemático

En cuatro años obtuvo no sólo su licenciatura sino también su doctorado en matemáticas de una vez.

Era 1934 y Hungría, con su régimen fascista, se estaba volviendo cada vez más incómodo para los judíos.

Fue entonces que viajó a Inglaterra, para hacer trabajos postdoctorales en Cambridge y Manchester, y descubrió que además de lo que llevaba en una maleta semivacía que nunca aprendió a empacar, no quería más que la oportunidad de ser un turista matemático, viajando a cualquier lugar del mundo en el que estuviera pasando algo interesante y hubiera espacio para pensar y compartir ideas.

Maleta en cama

FUENTE DE LA IMAGEN – GETTY IMAGES

«Desde 1934 casi nunca durmió en la misma cama durante siete noches consecutivas», dijo el matemático Béla Bollobás.

Erdős nunca tuvo un empleo formal, una oficina o escritorio. Para hacer su trabajo, sólo necesitaba su mente y, a veces, lápiz y papel.

No tuvo posesiones materiales, pues las consideraba una molestia, ni cuentas de banco, ni tarjetas de crédito.

Tampoco tuvo una relación de pareja ni hijos, aunque le fascinaban los niños a los que llamaba «épsilon», porque pequeñas cantidades en matemáticas a menudo son designadas por esa letra griega.

Y, aparte de la casa de sus padres en Hungría, nunca tuvo un hogar permanente.

En ese viaje de por vida que emprendió siempre en busca de nuevos desafíos, sus amigos, la mayoría matemáticos y eminentes, le daban posada cuando llegaba, usualmente sin avisar, a tocar sus puertas y anunciaba: «Mi mente está abierta».

Sabían que llegaba cargado de ideas y brillantez, de problemas en busca de soluciones y soluciones sin problema, por lo que lo recibían gustosos pese a que estaban conscientes de que les esperaban días de intensas sesiones con alguien cuyo objetivo en la vida era «hacer matemáticas: probar y conjeturar» que jamás aprendió siquiera a cortar en dos la toronja que le gustaba comer al desayuno.

Erdős viajando de un lado al otro en una de las imágenes del libro infantil "El niño que amó las matemáticas: la improbable vida de Paul Erdos" de Deborah Heiligman, con ilustraciones de LeUyen Pham ©2013 (Derechos Reservados).

FUENTE DE LA IMAGEN – CORTESÍA: ROARING BROOK PRESS

Erdős viajando de un lado al otro en una de las imágenes del libro infantil «El niño que amó las matemáticas: la improbable vida de Paul Erdos» de Deborah Heiligman, con ilustraciones de LeUyen Pham ©2013 (Derechos Reservados).

Lo más cercano que tuvo a un lugar propio fue una habitación que eventualmente le construyeron en su casa Ronald Graham y su esposa Fan Chung, ambos célebres matemáticos.

A pesar de que «al cabo de dos días, empezaban a pelear», según Chung, Graham y Erdős mantuvieron una amistad sólida y una relación profesional desde que se conocieron en 1963, cuando eran de los pocos que trabajaban en matemáticas discretas, la piedra fundamental de la informática.

Además de abrirle las puertas de su hogar, Graham se ocupaba de todos los asuntos administrativos de su amigo, que vivía de dotaciones y honorarios de diversas instituciones educativas y quien, aunque gastaba poco, se la pasaba haciendo donaciones pues todo le conmovía u ofreciendo premios a quienes resolvieran problemas matemáticos que encontraba o se le ocurrían.

Y no repartía únicamente dinero, sino conocimientos que agregaban nuevas dimensiones a la investigación de los demás sin esperar ningún crédito por su ayuda.

Erdős con Fan Chung y Ronald Graham en Japón de 1986.

Erdős con Fan Chung y Ronald Graham en Japón de 1986.

Creía firmemente que la práctica de las matemáticas era una actividad social y que la misión de los que se dedicaban a esa materia era revelar juntos todos los secretos que tan celosamente guardaba el S.F. en El libro.

«Así como las abejas van de flor en flor llevando el polen, Paul va de centro matemático en centro matemático con sus problemas y su información, sirviendo de agente de fertilización cruzada matemática», como dijo al presentarlo en una de sus visitas a la Universidad de Cambridge, el matemático británico John William Scott Cassels.

No se limitaba a enriquecer intelectualmente a matemáticos establecidos sino que estaba constantemente pendiente de detectar jóvenes matemáticos talentosos -sus epsilones favoritos- para alentarlos y apoyarlos, ya fuera con sus conocimientos, sus conexiones y, de ser necesario, con fondos para que no dejaran de aprender.

Paul Erdős y Terence Tao

Paul Erdős y Terence Tao hablando de matemáticas cuando este último tenía 10 años de edad. Tao es ahora ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos vivos.

No por nada, le otorgaron en 1984 el prestigioso Premio Wolf en matemáticas no solo por «sus numerosas contribuciones a la teoría de números, combinatoria, probabilidad, teoría de conjuntos y análisis matemático» sino también «por estimular personalmente a los matemáticos de todo el mundo».

Un mundo que a veces le cerró las puertas; no sólo los nazis en sus dominios, sino también los contrincantes en la Guerra Fría, cuando por ejemplo, su natal Hungría sospechaba que era un espía de Estados Unidos, y Estados Unidos, que era un espía comunista.

Nada de eso logró que se diera por vencido: regresó a los países que lo habían rechazado y visitó muchos otros, al menos 25, en su peregrinaje matemático.

Paul Erdős PGOM LD AD LD CD

Si hubieras conocido a Paul Erdős a los 55 años, se habría presentado dándote su nombre seguido por las letras PGOM, que significaban «poor great old man»: en español, pobre gran anciano.

A esas cuatro letras luego se les unieron otras dos: LD, de «living dead», o muerto viviente. «Recibes ese título cuando cumples 60 años», explicaba el matemático.

A los 65 años, agregó AD, por «archaeological discovery», o descubrimiento arqueológico.

A los 70, añadió otro LD, pero en este caso significaba «legally dead», o legalmente muerto.

Cinco años más tarde, aparecieron las últimas dos letras: CD, de «counts dead», cuenta como muerto, porque «en la Academia de las Ciencias de Hungría, después de cumplir los 75 años de edad puedes seguir perteneciendo y gozando de todos los privilegios, pero ya no te cuentan como miembro».

Después, decidió dejarse de quejar porque estaba envejeciendo pues ya había terminado de envejecer.

Paul Erdős joven y viejo

…pero desde los 18 años hasta los 83, nunca dejó de buscar respuestas y de hablar de lo que le apasionaba, en salones de clases, conferencias o en las salas de las casas de sus amigos.

Sin embargo, nunca dejó de ser productivo, contraviniendo la creencia general expresada famosamente por el matemático inglés G.H. Hardy.

«Ningún matemático debería permitirse jamás olvidar que las matemáticas, más que cualquier otro arte o ciencia, es un juego de jóvenes … No conozco un caso de un importante avance matemático iniciado por un hombre de más de 50 años».

Lo cierto es que en más de seis décadas de actividad frenética, Erdős escribió artículos fundamentales sobre teoría de números, análisis real, geometría, teoría de probabilidades, análisis complejo, teoría de aproximación, teoría de conjuntos y combinatoria.

Propulsado por café y anfetaminas que le permitían permanecer alerta hasta 20 horas seguidas, produjo alrededor de 1.500 artículos, por lo que se ganó el título del matemático más prolífico de la historia, y tuvo cerca de 500 coautores.

(Imagen de "El niño que amó las matemáticas: la improbable vida de Paul Erdos" de Deborah Heiligman, con ilustraciones de LeUyen Pham ©2013 Derechos Reservados).

FUENTE DE LA IMAGEN – CORTESÍA: ROARING BROOK PRESS

Nunca dejó de hacer matemáticas, pues para él eso significaba la muerte. 

(Imagen de «El niño que amó las matemáticas: la improbable vida de Paul Erdos» de Deborah Heiligman, con ilustraciones de LeUyen Pham ©2013 Derechos Reservados).

Si bien es cierto que el que le dieran crédito por su colaboración era lo que menos le importaba, dárselo se convirtió en una cuestión de honor, al punto que surgió el concepto del número de Erdős, que describe la «distancia colaborativa» entre Erdős y otro investigador, medida por la autoría de los artículos publicados, y funciona así:

  • El número de Erdős del propio Erdős es 0
  • El de las más de 500 personas que fueron coautoras de un artículo es Erdős número 1.
  • Las casi 7.000 personas que fueron coautoras de un artículo con alguien de Erdős número 1 tienen Erdős número 2 y así sucesivamente.

El número Erdős de Albert Einstein, por ejemplo, es 2 pues aunque nunca trabajaron juntos, ambos lo hicieron independientemente con el matemático alemán Ernst Straus, quien -a propósito- describió a Erdős como «el príncipe de los solucionadores de problemas y el monarca absoluto de los que plantean problemas».

La idea del número de Erdős es parte del folclor entre los matemáticos de todo el mundo, pero como estamos hablando de este tipo de científicos, eventualmente se convirtió en una herramienta útil para estudiar la cooperación entre investigadores.

Los gráficos de colaboración de Erdős se usan para explorar cómo se agrupan los autores, cómo evoluciona el número de coautores por artículo con el tiempo o cómo se propagan las nuevas teorías.

ección del gráfico de colaboración realizado por su amigo, el matemático Ron Graham.

Para que tengas una idea de la red que tejió Erdős, mira esta sección del gráfico de colaboración realizado por su amigo, el matemático Ron Graham.

……………………………………………

Si hubieras conocido a Paul Erdős en los últimos años de su vida, te habría contado cómo quería morir, o más bien ‘irse’, pues en su particular vocabulario, los que morían eran los matemáticos que dejaban de hacer matemáticas; la gente «llegaba» al nacer y cuando dejaba de vivir, «se iba».

Sería justo después de dictar una conferencia en la que hubiera presentado una solución a un problema y un miembro cascarrabias de la audiencia levantara la mano para preguntar: «¿Qué pasa con el caso general?». Le respondería: «Creo que se lo dejaré a la próxima generación», y caería muerto.

No sucedió precisamente así, pero pasó su último día en un congreso de matemáticas y cenó con homólogos, antes de «irse».

Durante varios años después se siguieron publicando artículos suyos que se habían quedado rezagados.

Si hubieras conocido a Paul Erdős, te habría dicho cuál quería que fuera su epitafio: «Finalmente dejé de volverme cada vez más tonto».

«Mi madre dijo: ‘Hasta tú, Paul, sólo puedes estar en un lugar a la vez’.

Quizás pronto me libraré de esa desventaja.Quizás, una vez que me haya ido, pueda estar en muchos lugares al mismo tiempo.Quizás entonces pueda colaborar con Arquímedes y Euclides».

Paul Erdős, 1913-1996

Imagen de portada: Gentileza de BBC News Mundo (Foto de archivo)

FUENTE RESPONSABLE: BBC News Mundo. Mayo 2021. Por Dalia Ventura.

Sociedad y Cultura/Ciencia/Matemáticas/Investigación/Paul Erdös

El triángulo de Pascal.

¿Qué son los números triangulares?

¿Qué es este triángulo formado por números que parecen elegidos en forma caótica?

Yo podría sugerirle que lo mire un rato y haga lo siguiente: trate de entretenerse con él. ¿Cómo?

Trate de descubrir leyes o patrones. Es decir, ¿estarán puestos los números al azar? ¿Habrá alguna relación entre ellos? Si bien uno advierte que hay un montón de números uno (de hecho, hay unos en los dos costados del triángulo), ¿cómo habrán hecho para construirlo?

Un poquito de historia.

Este triángulo fue estudiado por Blaise Pascal, un matemático y filósofo francés que vivió solo 39 años (1623-1662), aunque en realidad, los que trabajan en historia de la ciencia, y más precisamente, en historia de la matemática, sostienen que el triángulo y sus propiedades fueron descriptas y eran conocidas ya por los chinos, en particular por el matemático Yanghui, algo así como 500 años antes que naciera Pascal, y también por el poeta y astrónomo persa, Omar Khayyám. Es más, en China, se lo conoce con el nombre del triángulo de Yanghui, y no el de Pascal, como en occidente.

Ahora, algunas observaciones. Como usted advierte, el triángulo queda simétrico. Es decir, da lo mismo leer cada fila desde la izquierda que desde la derecha. El número que aparece en cada fila, tiene dos números arriba de él. Si uno los suma, obtiene el de la fila de abajo. Así es como aparece el 2, porque tiene arriba dos números 1. De la misma forma busque el 10. Verá que tiene en la fila de arriba un 4 y un 6. Si los suma, obtiene 10. Por otro lado, fíjese en algunas diagonales. La primera, está compuesta por todos números uno. La segunda, está compuesta por todos los números naturales. Mire la tercera… {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…} (*)

¿Qué números son éstos? ¿Piense si se le ocurre alguna manera de construirlos sin tener que recurrir al triángulo de Pascal? La sucesión (*) se obtiene, empezando con un número 1 y después, para obtener los siguientes, va sumando 2 (y obtiene el 3), después suma 3 (y obtiene el 6), suma 4 (y obtiene el 10) y así sucesivamente.

Usted se preguntará: ¿Y esto para qué me sirve? Por ejemplo, supongamos que usted está invitado a una fiesta. Al llegar, cada persona saluda a los que ya llegaron, dándole la mano. La pregunta es, si en el salón hay en un determinado momento siete personas, ¿cuántos apretones de mano se dieron en total? ¿Quiere pensar usted y ver si descubre qué relación tiene con los números triangulares?

Sigo yo: al llegar la primera persona, como no había nadie en el salón, no hay nada que contar. Cuando llega la segunda sin embargo, como adentro hay una persona, le da la mano, y ya tenemos uno para incorporar a nuestra lista. Ni bien llega la tercera persona, ésta tiene que darle la mano a las dos personas que hay adentro. Luego, en total, ya se dieron 3 apretones de mano: 1 que había en el momento que llegó la segunda persona y 2 ahora. Recuerde que vamos por tres apretones cuando hay tres personas en el salón. Cuando llegue la cuarta persona, ésta le tiene que dar la mano a las 3 que están adentro, por lo que sumadas a las tres que ya llevábamos, se tienen 6. Esto le muestra cómo esta parte del triángulo resuelve ese problema.

Por supuesto, entiendo perfectamente que nadie se pasa contando los apretones de manos, pero usted deduce que se puede usar también en otras circunstancias similares. Estos apretones de mano van reproduciendo los números triangulares que describí más arriba.

Es decir, esa diagonal del triángulo de Pascal, sirve, en particular, para contar en determinadas situaciones.

Otra curiosidad. Volvamos a la misma diagonal que contiene a los números triangulares:

{1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…}

Ahora, en lugar de restar un término menos al anterior, empiece a sumar de a dos los términos y a escribir los resultados:

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

15 + 21 = 36

21 + 28 = 49

28 + 36 = 64

36 + 45 = 81

45 + 55 = 100

Ahora que escribí varios términos, ¿le sugiere algo esto?

Piénselo sola/solo primero y luego lea lo que sigue. ¿Le recuerdan algo estos números? Sigo. Justamente, los números que están en la columna de la derecha, son los cuadrados de los números naturales. Es decir de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Supongamos que uno tiene cinco delanteros en un plantel de fútbol pero sólo usará dos para el partido del domingo

¿De cuántas formas los puede elegir? O un problema equivalente podría ser el siguiente: suponga que le ofrecen cinco entradas para ver espectáculos un determinado día de la semana, pero sólo puede comprar acceso a solamente dos

¿De cuántas formas puede seleccionar dónde ir?

Como se ve, Yo podría seguir dando múltiples ejemplos que conducen todos al mismo lugar. Y la forma de pensar todos, en forma genérica, sería decir:

Si uno tiene un conjunto con cinco elementos ¿De cuántas formas se pueden elegir subconjuntos que contengan dos de esos cinco? Los voy a llamar {A,B,C,D,E}

¿De cuántas formas puede elegir subconjuntos de dos elementos, elegidos entre estos cinco? Esto sería equivalente, a elegir dos delanteros de los cinco, o bien, dos entradas para ver dos shows diferentes, elegidas entre las cinco posibles. Hagamos -juntos-ff la lista completa: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE.

Como usted ve, hay diez formas de elegirlos. Es decir, ¡hay diez formas de elegir subconjuntos de dos elementos seleccionados entre los cinco que hay! ¿Puedo pedirle que ahora vaya hasta el triángulo de Pascal, y se fije en la fila cinco y busque el elemento número tres? [2]

Ahora sí, ¿cómo es la fila número cinco? Es: {1,5,10,5,1}

Por lo tanto, el elemento que lleva el número dos en la fila cinco es justamente el número diez, que contaba el número de subconjuntos de dos elementos elegidos entre cinco.

Hagamos -juntos- otro ejemplo.

Si usted tiene seis camisas, y quiere elegir tres para llevarse en un viaje, ¿de cuántas formas posibles puede hacerlo?

Primero, busque en el triángulo de Pascal qué número debería ser el resultado ¿Qué puede hacer? Busque en la fila seis el elemento que lleva el número tres (recordando que el uno inicial, es el número cero). Vaya a la fila número seis. Es ésta: {1,6,15,20,15,6,1}.

Entonces, en esta fila, el elemento que lleva el número tres, que es el que estamos buscando, es el número 20. Le propongo que vaya usted y lo compruebe y verá que son 20 ¿Qué dice este número? Uno descubre que hay veinte maneras de elegir subconjuntos de tres elementos seleccionados de un conjunto que tiene seis.

Acá voy a parar -por ahora- porque no tengo más espacio, pero entreténgase mirando las diferentes diagonales, sumando filas u otras combinaciones y fíjese qué descubre usted.

Eso tendrá mucho más valor que lo que pueda escribir yo, pero espero haberle dado una idea cómo algo tan banal puede producir tantos resultados diferentes y contestar tantas preguntas.

[1] Estos números, se llaman números triangulares.

[2] Recuerde que las filas las empezamos a contar con la fila cero, y que los elementos en cada fila los empezamos a contar desde el cero también. Es decir, el número uno con el que empieza cada fila, es el número cero de la fila.

Imagen de portada: Gentileza de Página 12

FUENTE RESPONSABLE: Página 12  Por Adrián Paenza

Blaise Pascal/Ciencias matemáticas/Números triangulares/Números naturales.